Hela algebra · 2019-12-04
Bestäm matriserna för de tre speglingsavbildningarna som speglar rummet i planen $x + y = 0$, $y + z = 0$ respektive $x + z = 0$. (ON-system)
Var hamnar punkten $(x, y, z)$ om vi först speglar den i planet $x + y = 0$, sedan i planet $y + z = 0$ och till sist i planet $x + z = 0$? Om vi upprepar proceduren ytterligare en gång blir den sammansatta avbildningen en spegling i en linje. Vilken?
(a) Speglingen $S_1$ i planet $x+y=0$ uppfyller
$$S_1(\vec e_x)=-\vec e_y,\qquad S_1(\vec e_y)=-\vec e_x,\qquad S_1(\vec e_z)=\vec e_z,$$
vilket ger matrisen
$$A_1=\begin{pmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$
Speglingen $S_2$ i planet $y+z=0$ uppfyller
$$S_2(\vec e_x)=\vec e_x,\qquad S_2(\vec e_y)=-\vec e_z,\qquad S_2(\vec e_z)=-\vec e_y,$$
vilket ger matrisen
$$A_2=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&-1&0\end{pmatrix}.$$
Speglingen $S_3$ i planet $z=x$ uppfyller
$$S_3(\vec e_x)=-\vec e_z,\qquad S_3(\vec e_y)=\vec e_y,\qquad S_3(\vec e_z)=-\vec e_x,$$
vilket ger matrisen
$$A_3=\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}.$$
(b) Den sammantagna effekten av de tre speglingarna (i den givna ordningen) ges av
$$
A=A_3A_2A_1=
\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}.
$$
Denna matris avbildar punkten $(x,y,z)$ enligt
$$
\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}-x\\-z\\y\end{pmatrix},
$$
dvs. $(x,y,z)$ avbildas på $(-x,-z,y)$. Vi ser vidare att
$$
A^2=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix},
$$
som avbildar $(x,y,z)$ på $(x,-y,-z)$. Detta svarar mot en spegling i $x$-axeln.