Uppgift 6

(a) Produktlagen för determinanter ger
$$\det(A^n)=(\det(A))^n= \begin{vmatrix}1&1\\0&2\end{vmatrix}^{n}=2^n.$$

(b)
$$A^1=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix},\quad A^2=\begin{pmatrix}1&3\\0&4\end{pmatrix},\quad A^3=\begin{pmatrix}1&7\\0&8\end{pmatrix},\quad A^4=\begin{pmatrix}1&15\\0&16\end{pmatrix},\ldots$$
Vi gissar att
$$A^n=\begin{pmatrix}1&2^n-1\\0&2^n\end{pmatrix}.$$

(c) Vi formulerar induktionshypotesen $P_n:A^n=\begin{pmatrix}1&2^n-1\\0&2^n\end{pmatrix}$, och ska visa att $P_n$ är en sann utsaga för varje heltal $n\geq1$.
Bassteget: Detta är trivialt uppfyllt eftersom vi just har valt formeln så att den ska gälla för $n=1,2,3,4$.
Induktionssteget: Antag nu att $P_n$ är ett sant påstående. Då gäller att
$$ \begin{aligned} A^{n+1}=AA^n &=\left[\text{enl. induktionsantagandet}\right]\\ &=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&2^n-1\\0&2^n\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}1&2^n-1+2^n\\0&2\cdot2^n\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&2^{n+1}-1\\0&2^{n+1}\end{pmatrix} =(HL)_{n+1}, \end{aligned} $$
dvs. vi har visat att $P_{n+1}$ är sant. Enligt induktionsprincipen följer nu att $P_n$ är sant för alla $n\geq1.$