Uppgift 2

(a) Primtalsfaktoriseringen av $39$ är $3\cdot13$, så det räcker att visa att talet är delbart med $3$ och $13$. Talet är delbart med $3$ eftersom
$$2021^{60}-1\equiv(-1)^{60}-1=0\pmod3.$$
Nu är $2021\equiv6\pmod {13}$, och enligt Fermats lilla sats får vi $6^{12}\equiv1\pmod {13}$, så
$$2021^{60}-1\equiv6^{12\cdot5}-1=(6^{12})^5-1\equiv1^5-1=0\pmod {13},$$
vilket därmed visar påståendet.

(b) Efter kvadratkomplettering får vi den normaliserade ekvationen
$$\frac{(x-2)^2}{1^2}+\frac{(y-1)^2}{2^2}=1.$$
Från detta ser vi att medelpunkten är $(2,1)$, halvaxeln i $x$-led är $1$, och halvaxeln i $y$-led är $2$. Vidare, om storaxeln är $a=2$, lillaxeln är $b=1$, och avståndet från medelpunkten till brännpunkterna är $c$, gäller $a^2=b^2+c^2$. Vi får därmed att $c=\sqrt3$, så brännpunkterna är $(2,1\pm\sqrt3)$. Nu kan vi skissa grafen.