Uppgift 3

Om $z=m/n$ är ett rationellt nollställe med $\operatorname{SGD}(m,n)=1$ gäller $m\mid1$ och $n\mid8$, så vi får kandidaterna
$$z=\pm1,\ \pm\frac12,\ \pm\frac14,\ \pm\frac18.$$
Prövning ger att $z=-\frac12$ fungerar, så $z+\frac12$ är en faktor. Polynomdivision ger
$$p(z)=8\left(z+\frac12\right)\left(z^4+\frac14\right).$$
Vi vill därför lösa $z^4+\frac14=0\Longleftrightarrow z^4=-\frac14$. Ansätter vi lösningen på polär form $z=re^{\theta i}$ fås $r^4e^{4\theta i}=\frac14e^{\pi i}$. Vi behöver alltså $r^4=\frac14$ och $4\theta=\pi+2\pi n$ för $n\in\mathbb Z$. Vilket ger $r=1/\sqrt2$ och $\theta=\frac\pi4+\frac\pi2n$. Sätter vi in $n=1,2,3,4$ fås lösningarna $z=\frac{\pm1\pm i}{2}$, så de fem lösningarna är alltså
$$z_1=-\frac12,\qquad z_{2,3,4,5}=\frac{\pm1\pm i}{2}.$$
Parar vi ihop konjugerade nollställen får vi
$$ p(z)=8\left(z+\frac12\right) \left(z-\frac{1+i}{2}\right)\left(z-\frac{1-i}{2}\right) \left(z-\frac{-1+i}{2}\right)\left(z-\frac{-1-i}{2}\right) =(2z+1)(2z^2-2z+1)(2z^2+2z+1).$$