Hela algebra · 2021-12-06
På en arbetsplats finns 3 arbetslag med 10 medarbetare i varje. Man skall utse en festkommitté med 6 medlemmar. På hur många sätt kan detta ske om
alla 6 skall komma från samma arbetslag?
det skall vara precis 2 från varje arbetslag?
det skall vara minst en medlem från varje arbetslag?
Svaren får innehålla binomialkoefficienter utom i uppgift (a) där svaret måste vara uträknat.
(a) Arbetslaget kan väljas på $3$ sätt, och medlemmarna från det arbetslaget på $\binom{10}{6}$ sätt, så det blir totalt
$$3\binom{10}{6}=630$$
möjligheter.
(b) På
$$\binom{10}{2}^3=91125$$
sätt.
(c) Det finns $3$ alternativ: Det kan vara $4$ medlemmar från ett arbetslag och $1$ från vardera av de två övriga, vilket kan ske på
$$3\binom{10}{4}\binom{10}{1}\binom{10}{1}$$
sätt. Det kan vara $3$ medlemmar från ett arbetslag, $2$ från ett annat, och $1$ från det tredje, vilket kan ske på
$$3\binom{10}{3}\binom{10}{2}\binom{10}{1}$$
sätt. Slutligen kan det vara två från vardera arbetslag, som i uppgift (b). Totalt får vi
$$300\binom{10}{4}+60\binom{10}{3}\binom{10}{2}+\binom{10}{2}^3=478125$$
sätt.
Anmärkning: Ett inklusion-exklusion-resonemang ger formeln
$$\binom{30}{6}-3\binom{20}{6}+3\binom{10}{6}.$$