Uppgift 2

(a) Primtalsfaktoriseringen av $22$ är $2\cdot11$, så räcker det att visa att talet är delbart med $2$ och $11$. Talet är delbart med $2$ eftersom båda termerna är udda. Enligt Fermats lilla sats får vi $3^{10}\equiv1\pmod{11}$, så
$$ 3^{103}-5=3^{10\cdot10+3}-5=(3^{10})^{10}3^3-5 \equiv1^{10}\cdot27-5=22\equiv0\pmod{11}, $$
vilket därmed visar påståendet.

(b) Kvadratkompletterar vi ekvationen fås
$$ \left(x-\frac a2y\right)^2+\left(a-\frac{a^2}{4}\right)y^2=1, $$
så vi får en ellips om och endast om $a-\frac{a^2}{4}>0$, dvs. då $a(4-a)>0$. Man ser enkelt att detta är uppfyllt precis då $0<a<4$.