Uppgift 4

Sätter vi $z=bi$, med $b\in\mathbb R$, får vi
$$p(z)=(b^4-7b^2+10)+i(2b^3-20b),$$
som är noll om och endast om
$$ \begin{cases} b^4-7b^2+10=0,\\ 2b(b^2-5)=0. \end{cases} $$
Den andra av dessa ekvationer ger att $b=0$ eller $b=\pm\sqrt5$, varav bara de senare uppfyller den första ekvationen. Vi har alltså att $z=\pm\sqrt5\,i$ löser $p(z)=0$. Därmed är $z^2+5$ en delare till $p(z)$, och polynomdivision ger att
$$p(z)=(z^2+5)(z^2-2z+2).$$
De övriga lösningarna ges av
$$z^2-2z+2=0\Longleftrightarrow(z-1)^2=-1,$$
så $z=1\pm i$. Svar: $z_{1,2}=\pm\sqrt5\,i$ och $z_{3,4}=1\pm i$.