Hela algebra · 2022-03-02
Linjen $L_1$ ges av $(x,y,z)=(4,2,0)+t(3,1,-1)$, $t\in\mathbb{R}$, och linjen $L_2$ passerar genom punkterna $(3,0,6)$ och $(3,1,7)$. Bestäm avståndet mellan linjerna samt bestäm två punkter, en på respektive linje, som ligger så nära varandra som möjligt.
Vi avläser att $\mathbf v_1=(3,1,-1)$ är en riktningsvektor för $L_1$. Sätter vi $A=(3,0,6)$ och $B=(3,1,7)$, har vi att en riktningsvektor för $L_2$ ges av $\mathbf v_2=\overrightarrow{AB}=(0,1,1)$, så
$$
L_2:\ (x,y,z)=(3,0,5)+s(0,1,1),\qquad s\in\mathbb R.
$$
Vi söker nu de punkter $P=(4+3t,2+t,-t)\in L_1$ och $Q=(3,s,6+s)\in L_2$ som minimerar avståndet. Detta inträffar då $\overrightarrow{PQ}$ är ortogonal mot linjernas riktningsvektorer. Eftersom
$$\overrightarrow{PQ}=(-1-3t,s-2-t,6+t+s),$$
får vi
$$
\begin{cases}
0=\overrightarrow{PQ}\cdot\mathbf v_1=-11-11t,\\
0=\overrightarrow{PQ}\cdot\mathbf v_2=4+2s.
\end{cases}
$$
som ger att $t=-1$ och $s=-2$. Därmed är de två närmaste punkterna $P=(1,1,1)$ respektive $Q=(3,-2,4)$, och avståndet mellan linjerna är
$$
\lvert\overrightarrow{PQ}\rvert=\lvert(2,-3,3)\rvert=\sqrt{22}.
$$