Hela algebra · 2022-06-09
Bestäm medelpunkt och halvaxlar och brännpunkter för ellipsen
$$3x^2-6x+4y^2+8y=5,$$
och skissa grafen.
Hur många 4-siffriga PIN-koder finns det med
(i) bara udda siffror
(ii) med minst en udda och minst en jämn siffra?
(iii) med precis 2 udda siffror?
Svaren skall anges uträknade.
(a) Efter kvadratkomplettering får vi den normaliserade ekvationen
$$
\frac{(x-1)^2}{2^2}+\frac{(y+1)^2}{(\sqrt3)^2}=1.
$$
Från detta ser vi direkt att medelpunkten är $(1,-1)$, halvaxeln i $x$-led är $2$, och halvaxeln i $y$-led är $\sqrt3$. Vidare, om storaxeln är $a(=2)$, lillaxeln är $b(=\sqrt3)$, och avståndet från medelpunkten till brännpunkterna är $c$, gäller $a^2=b^2+c^2$. Vi får därmed att $c=1$, så brännpunkterna är $(1\pm1,-1)$. Nu kan vi skissa grafen.
(b) i. Med multiplikationsprincipen fås $5^4=625$ koder.
ii. Det finns totalt $10^4$ PIN-koder, de förbjudna är de $5^4$ med bara udda samt de $5^4$ med bara jämna siffror. Alltså får vi
$$10^4-5^4-5^4=10\,000-2\cdot625=8750$$
tillåtna koder.
iii. Om man först väljer vilka $2$ av de $4$ sifferpositionerna som skall vara udda så får man
$$\binom42\cdot5^2\cdot5^2=3750$$
möjligheter.