Hela algebra · 2022-06-09

Uppgift 3

Uppgift 3

Betrakta en given godtycklig triangel $\triangle ABC$. Låt $D$ vara punkten på sträckan $AB$ uppfyller $2\lVert\overrightarrow{AD}\rVert=\lVert\overrightarrow{DB}\rVert$, och låt $E$ vara mittpunkt på sidan $AC$. Betrakta baserna $(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2)=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ och $(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2)=(\overrightarrow{ED},\overrightarrow{EB})$.

(a)

Uttryck vektorerna $\mathbf{e}_1$ och $\mathbf{e}_2$ i basen $(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2)$. Om $\mathbf{v}$ är vektorn med koordinaterna $(2,-2)$ i basen $(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2)$, bestäm koordinaterna för $\mathbf{v}$ i basen $(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2)$.

(b)

Betrakta koordinatsystemet med origo i punkten E och basen $(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2)$. Bestäm koordinaterna för punkten C i detta koordinatsystem.

Visa lösningDölj lösning

(a) Vi får
$$ \mathbf f_1=\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AD} =-\frac12\mathbf e_2+\frac13\mathbf e_1 $$
och
$$ \mathbf f_2=\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB} =-\frac12\mathbf e_2+\mathbf e_1. $$
Så $(\mathbf f_1\ \mathbf f_2)=(\mathbf e_1\ \mathbf e_2)A$, där
$$ A=\frac16\begin{pmatrix}2&6\\-3&-3\end{pmatrix}. $$
Därmed är $(\mathbf e_1\ \mathbf e_2)=(\mathbf f_1\ \mathbf f_2)A^{-1}$. Med valfri standardmetod får vi att
$$ A^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}-3&-6\\3&2\end{pmatrix}, $$
så $\mathbf e_1=-\frac32\mathbf f_1+\frac32\mathbf f_2$ och $\mathbf e_2=-3\mathbf f_1+\mathbf f_2$.
Om vektorn $\mathbf v$ har koordinatmatrisen
$$X=\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}$$
i basen $(\mathbf e_1,\mathbf e_2)$ så har $\mathbf v$ koordinatmatrisen
$$Y=A^{-1}X=\begin{pmatrix}\frac32\\\frac52\end{pmatrix}$$
i basen $(\mathbf f_1,\mathbf f_2)$.

(b) Eftersom
$$\overrightarrow{EC}=\frac12\mathbf e_2=-\frac32\mathbf f_1+\frac12\mathbf f_2$$
är koordinaterna för $C$ i koordinatsystemet $\left(-\frac32,\frac12\right)$.