Hela algebra · 2022-06-09
Bestäm alla nollställen i $\mathbb{C}$ till polynomet $p(z)=z^6+64$, och rita lösningarna i det komplexa talplanet. Nollställena skall anges på formen $z=a+bi$, med $a,b\in\mathbb{R}$.
Faktorisera $p(z)$ i irreducibla reella faktorer.
(a) Vi skall lösa $z^6=-64$. Ansätter vi lösningen på polär form $z=re^{\theta i}$ fås $r^6e^{6\theta i}=64e^{\pi i}$. Vi behöver alltså $r^6=64$ och $6\theta=\pi+2\pi n$ för $n\in\mathbb Z$. Vilket ger $r=2$ och
$$\theta=\frac\pi6+\frac\pi3n.$$
Sätter vi in $n=0,1,2,3,4,5$ fås lösningarna $z=\pm2i$ och $z=\pm\sqrt3\pm i$. Dessa nollställen bildar en regelbunden $6$-hörning på cirkeln med radie $2$ och centrum i origo i det komplexa talplanet.
(b) Parar vi ihop konjugerade nollställen får vi
$$
\begin{aligned}
p(z)&=(z-2i)(z+2i)(z-\sqrt3-i)(z-\sqrt3+i)\\
&\qquad\cdot(z+\sqrt3-i)(z+\sqrt3+i)\\
&=(z^2+4)(z^2-2\sqrt3z+4)(z^2+2\sqrt3z+4).
\end{aligned}
$$