Hela algebra · 2022-06-09
Låt $a$ vara en reell konstant, och betrakta den räta linjen
$$(x,y,z)=(3,5,-2)+t(a,2,a^2-2),\qquad t\in\mathbb{R}.$$
Betrakta även planet $2x+y+z=3$.
Bestäm skärningspunkten mellan planet och linjen i fallet $a=1$, samt vinkeln mellan linjen och planet.
För vilket eller vilka värden på $a$ gäller att linjen inte skär planet?
(a) Sätter vi in koordinaterna för punkterna på linjen i planets ekvation får vi
$$2(3+t)+(5+2t)+(-2-t)=3,$$
som har lösningen $t=-2$. Skärningspunkten är därmed $(1,1,0)$. Vinkeln $\theta$ mellan linjens riktningsvektor $\mathbf v=(1,2,-1)$ och planets normal $\mathbf n=(2,1,1)$ fås av
$$
\cos\theta=\frac{\mathbf v\cdot\mathbf n}{\lVert\mathbf v\rVert\lVert\mathbf n\rVert}
=\frac36=\frac12,
$$
så $\theta=\pi/3$. Vinkeln med planet är därmed $\pi/2-\theta=\pi/6$.
(b) Eftersom punkten $(3,5,-2)$ på linjen inte ligger i planet, räcker det att riktningsvektorn $\mathbf v=(a,2,a^2-2)$ är ortogonal mot $\mathbf n$. Vi får
$$
0=\mathbf n\cdot\mathbf v=2\cdot a+1\cdot2+1\cdot(a^2-2)=a(a+2),
$$
så $a=0$ eller $a=-2$.