Hela algebra · 2022-08-10
Bestäm den största gemensamma delaren till $2^{122}+6$ och 30.
Låt $X$ och $Y$ vara mängder som uppfyller $X\cup Y=\{1,2,3,4,5\}$, $X\setminus Y=\{1,3\}$ och $Y\setminus X\subseteq\{5\}$. Bestäm alla möjligheter för elementen i de två mängderna $X$ och $Y$.
(a) Vi har primtalsfaktoriseringen $30=2\cdot3\cdot5$. Det är uppenbart att $2^{122}+6$ delas av $2$ (båda termerna är jämna) men inte av $3$ (bara ena termen är delbar med $3$). Modulo $5$ får vi
$$
2^{122}+6\equiv4^{61}+1\equiv(-1)^{61}+1=-1+1=0\pmod5,
$$
så talet är delbart med $5$. Alltså är $\operatorname{SGD}(2^{122}+6,30)=2\cdot5=10$.
(b) Eftersom $Y\setminus X\subseteq\{5\}$ får vi två fall. Första fallet är att $Y\setminus X=\varnothing$. Då $Y\subseteq X$, så $X=X\cup Y=\{1,2,3,4,5\}$ och då måste $Y=\{2,4,5\}$. Det andra fallet är att $Y\setminus X=\{5\}$. Då ligger alltså elementen $1,3$ och $5$ i precis en av mängderna, medan $2$ och $4$ måste ligga i båda, därmed är $X=\{1,2,3,4\}$ och $Y=\{2,4,5\}.$