Uppgift 3

Polynomet $p(z)$ har reella koefficienter så även konjugatet $z=-2-i$ är en rot, så polynomet delas av
$$ (z-(-2+i))(z-(-2-i))=z^2+4z+5. $$
Polynomdivision ger
$$p(z)=(z^2+4z+5)(z^3+8).$$
Vi behöver lösa ekvationen $z^3+8=0$. Ansätter vi lösningen på polär form $z=re^{\theta i}$ fås $r^3e^{3\theta i}=8e^{\pi i}$. Vi behöver alltså $r^3=8$ och $3\theta=\pi+2\pi n$ för $n\in\mathbb Z$, vilket ger $r=2$ och
$$\theta=\frac\pi3+\frac{2\pi}3n.$$
Sätter vi in $n=1,2,3$ fås $3$ lösningar. Svar: $z_{1,2}=-2\pm i$, $z_3=-2$, $z_{4,5}=1\pm\sqrt3\,i$.