Uppgift 5
(a)
Bestäm ekvationen för det plan som innehåller punkterna $(1,0,-1)$ och $(1,2,-3)$, och som är parallellt med linjen $(x,y,z)=(t,1-t,3-t)$, $t\in\mathbb{R}$.
(b)
Bestäm den punkt i planet i (a) som är närmast punkten $(7,0,5)$.
Hela algebra · 2022-08-10
Uppgift 5
Visa lösningDölj lösning
(a) Om vi kallar punkterna $P=(1,0,-1)$ och $Q=(1,2,-3)$ får vi $\overrightarrow{PQ}=(0,2,-2)$. Den givna linjen har en riktningsvektor $\mathbf v=(1,-1,-1)$, så en normalvektor till planet är
$$
\mathbf n=\overrightarrow{PQ}\times\mathbf v
=\begin{vmatrix}
0&1&\mathbf e_1\\
2&-1&\mathbf e_2\\
-2&-1&\mathbf e_3
\end{vmatrix}
=-4\mathbf e_1-2\mathbf e_2-2\mathbf e_3=(-4,-2,-2).
$$
Planets ekvation är därför $-4(x-1)-2(y-0)-2(z+1)=0$, dvs. $2x+y+z=1$.
(b) Om vi parametriserar normallinjen till planet genom den givna punkten får vi
$$
(x,y,z)=(7+2t,t,5+t).
$$
Stoppar vi in detta i planets ekvation får vi $2(7+2t)+t+(5+t)=1$, med lösningen $t=-3$. Detta ger att den närmaste punkten är $(x,y,z)=(1,-3,2)$.