Hela algebra · 2022-08-10
Låt $F:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ vara den linjära avbildningen $F(\mathbf{u})=\mathbf{u}+(\mathbf{e}_1\times\mathbf{u})$.
Bestäm matrisen för $F$ i standardbasen.
Visa att $F$ är inverterbar, och bestäm den inversa avbildningens matris.
(a) Om $\mathbf u=(x,y,z)$ får vi
$$
\mathbf e_1\times\mathbf u
=\begin{vmatrix}
1&x&\mathbf e_1\\
0&y&\mathbf e_2\\
0&z&\mathbf e_3
\end{vmatrix}
=0\mathbf e_1-z\mathbf e_2+y\mathbf e_3=(0,-z,y).
$$
Så
$$
\begin{aligned}
F(\mathbf u)&=\mathbf u+(\mathbf e_1\times\mathbf u)
=(x,y,z)+(0,-z,y)\\
&=(x,y-z,z+y)
=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&1&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}.
\end{aligned}
$$
Så avbildningens matris är
$$A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&1&1\end{pmatrix}.$$
(b) Med hjälp av lämpliga radoperationer får vi
$$
(A\mid E)=
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1&0&0&1&0&0\\
0&1&-1&0&1&0\\
0&1&1&0&0&1
\end{array}\right)
\sim
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1&0&0&1&0&0\\
0&1&0&0&\frac12&\frac12\\
0&0&1&0&-\frac12&\frac12
\end{array}\right)
=(E\mid A^{-1}),
$$
vilket både visar att $F$ är inverterbar, och att inversa avbildningens matris är
$$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\frac12&\frac12\\0&-\frac12&\frac12\end{pmatrix}.$$