Uppgift 2

(a) Per definition har vi att
$$p(x)=(x^2+1)k(x)+(2x+5)$$
för något polynom $k(x)$. Insättning ger därmed
$$p(i)=(i^2+1)k(i)+(2i+5)=0+(2i+5)=2i+5.$$

(b) Vi skriver det komplexa talet $z-i$ på polär form: $z-i=re^{i\theta}$ där $r\ge0$ och $\theta\in\mathbb R$. Talet $z$ uppfyller alltså $(z-i)^4=16i$ om och endast om
$$ (re^{i\theta})^4=16i \Longleftrightarrow r^4e^{i4\theta}=2^4e^{i\pi/2} \Longleftrightarrow r=2\text{ och }4\theta=\frac\pi2+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z. $$
Den sista ekvationen är ekvivalent med $\theta=\frac\pi8+\frac\pi2k$. Eftersom funktionen $e^{ix}$ är $2\pi$-periodisk så räcker det att ta $k=0,1,2,3$ i detta uttryck, vilket leder till de fyra vinklarna
$$ \frac\pi8,\quad\frac\pi8+\frac\pi2,\quad\frac\pi8+\pi,\quad\frac\pi8+\frac{3\pi}2. $$
Detta leder till de fyra lösningarna $z-i=2e^{i\theta}$ för ovan vinklar $\theta$. Med andra ord är vår ursprungliga ekvation ekvivalent med
$$ z\in\left\{ i+2e^{i\pi/8},\ i+2e^{i(\pi/8+\pi/2)},\ i+2e^{i(\pi/8+\pi)},\ i+2e^{i(\pi/8+3\pi/2)} \right\}. $$
I det komplexa talplanet motsvarar detta fyra punkter som alla ligger på en cirkel med radie $2$ och mittpunkt i talet $i$. Vinkeln mellan närliggande lösningar (relativt mittpunkten $i$) är $\pi/2$.