Hela algebra · 2022-12-08
Bestäm antalet ”ord” som kan skapas med symbolerna X, Y, Z, 0, 1, 2, 3, om varje symbol ska förekomma precis en gång och X måste förekomma någonstans före Y, som i sin tur måste förekomma någonstans före Z. Svaret ska vara fullt uträknat.
(T.ex. är X32YZ01 OK, men Y32XZ01 och X33YZ01 är inte det.)
Bestäm koefficienten av $x^{11}$ i polynomet $(x+2x^2)^8$. Ditt svar får innehålla binomialkoefficienter.
(a) Eftersom den relativa ordningen mellan $X,Y$ och $Z$ är förbestämd, så är det bara deras positioner i ordet som spelar roll. Dessa $3$ positioner kan väljas från de $7$ möjliga på totalt $\binom73$ sätt. För varje motsvarande utplacering av dessa $3$ symboler finns det $4!$ sätt att ordna de resterande symbolerna. Enligt multiplikationsprincipen, samt formeln för binomialkoefficienter, är det totala antalet ord därmed
$$
\boxed{\binom73\cdot4!=\frac{7!}{3!4!}\cdot4!=7\cdot6\cdot5\cdot4=840.}
$$
(b) Vi faktoriserar uttrycket och använder binomialsatsen:
$$
\begin{aligned}
(x+2x^2)^8&=x^8(1+2x)^8
=x^8\sum_{k=0}^8\binom8k(2x)^k\\
&=x^8\sum_{k=0}^8\binom8k2^kx^k.
\end{aligned}
$$
Termen $x^{11}$ motsvarar termen $k=3$ i summan, vilket ger koefficienten
$$\boxed{\binom83 2^3=448.}$$