Hela algebra · 2022-12-08
Bestäm samtliga lösningar till ekvationssystemet
$$\begin{cases}x+3z=7\\ x+2y+6z=11\\ 4y+9z=14\end{cases}$$
Beskriv hur antalet lösningar till systemet skulle ändras om högerleden byttes ut mot andra tal. Kom ihåg att motivera.
Bestäm volymen av parallellepipeden som spänns upp av de tre vektorerna $(1,1,0)$, $(0,2,4)$, $(3,6,9)$.
(a) Vi bildar systemets utökade matris och använder Gausseliminering:
$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
1&0&3&7\\
1&2&6&11\\
0&4&9&14
\end{array}\right)
\xrightarrow{-R_1}
\left(\begin{array}{ccc|c}
1&0&3&7\\
0&2&3&4\\
0&4&9&14
\end{array}\right)
\xrightarrow{-2R_2}
\left(\begin{array}{ccc|c}
1&0&3&7\\
0&2&3&4\\
0&0&3&6
\end{array}\right)
\xrightarrow{-R_3}
\left(\begin{array}{ccc|c}
1&0&0&1\\
0&2&0&-2\\
0&0&3&6
\end{array}\right).
$$
Från den sista matrisen kan vi läsa av att systemet har den unika lösningen
$$\boxed{(x,y,z)=(1,-1,2).}$$
(b) Antalet lösningar påverkas inte av vad högerleden är för detta ekvationssystem. Detta kan ses genom att stegen i Gausselimineringen endast berodde på koefficientmatrisen (dvs. inte den utökade delen), och att ekvationssystemet motsvarande den slutgiltiga matrisen uppenbarligen alltid har en lösning, oavsett vad den utökade delen är. (Obs: det finns många sätt att resonera på här.)
(c) Enligt utlärd sats är volymen lika med absolutbeloppet av determinanten av matrisen
$$
\begin{pmatrix}1&0&3\\1&2&6\\0&4&9\end{pmatrix}.
$$
Enligt en annan sats från kursen vet vi att determinanten inte påverkas av att vi adderar en multipel av en rad till en annan. Alltså har denna matris samma determinant som den reducerade matrisen
$$
\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}
$$
från ovan, vars determinant är $1\cdot2\cdot3$ eftersom den är triangulär. Svar: Parallellepipeden har volym $6$.