Uppgift 5

Den närmaste punkten $P$ på planet till punkten $Q$ har egenskapen att vektorn $\overrightarrow{PQ}$ är parallell med normalvektorn $\mathbf n=(1,-2,2)$ till planet. Ett sätt att hitta denna vektor $\overrightarrow{PQ}$ är genom att ta en godtycklig punkt $P_0$ på planet och projicera $\overrightarrow{P_0Q}$ på normalvektorn $\mathbf n$. Vi väljer $P_0=(3,0,0)$ som vår punkt på planet, vilket ger
$$\overrightarrow{P_0Q}=(5,6,3)-(3,0,0)=(2,6,3),$$
och vi får därmed
$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PQ} &=\operatorname{proj}_{\mathbf n}\overrightarrow{P_0Q} =\left(\frac{\mathbf n\cdot\overrightarrow{P_0Q}}{\lVert\mathbf n\rVert^2}\right)\mathbf n\\ &=\frac{(1,-2,2)\cdot(2,6,3)}{1^2+2^2+2^2}(1,-2,2) =-\frac49(1,-2,2). \end{aligned} $$
Avståndet mellan $P$ och $Q$ är längden på denna vektor:
$$ \left|-\frac49(1,-2,2)\right| =\frac49\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\frac43. $$
Vi kan hitta koordinaterna för $P$ genom att använda koordinaterna för $\overrightarrow{PQ}$ och $Q$:
$$ P=(5,6,3)-\left(-\frac49\right)(1,-2,2) =\frac19(49,46,35). $$
Svar: Avstånd $\frac43$, koordinater $\frac19(49,46,35)$.