Hela algebra · 2022-12-08
Avbildningen $T$ i rummet fås av att
Bestäm matrisen $A$ för $T$ relativt standardbasen, och ge en sammanfattande geometrisk tolkning av $T$.
Vi betecknar den första rotationen $R_z$, speglingen $S$, och den sista rotationen $R_x$, så att $T=R_x\circ S\circ R_z$. För att hitta matrisen för $T$ relativt standardbasen använder vi faktumet att matrisen för en linjär avbildning $F$, relativt standardbasen $B=(\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3)$, är
$$
\bigl([F(\mathbf e_1)]_B\ [F(\mathbf e_2)]_B\ [F(\mathbf e_3)]_B\bigr),
$$
där $[\mathbf u]_B$ står för $B$-koordinatvektorn av $\mathbf u$.
Geometriskt kan vi se att
$$
\begin{aligned}
R_z(\mathbf e_1)&=\mathbf e_2,&R_z(\mathbf e_2)&=-\mathbf e_1,&R_z(\mathbf e_3)&=\mathbf e_3,\\
S(\mathbf e_1)&=\mathbf e_1,&S(\mathbf e_2)&=\mathbf e_3,&S(\mathbf e_3)&=\mathbf e_2,\\
R_x(\mathbf e_1)&=\mathbf e_1,&R_x(\mathbf e_2)&=\mathbf e_3,&R_x(\mathbf e_3)&=-\mathbf e_2.
\end{aligned}
$$
Tillsammans med linjäriteten hos $S$ och $R_x$, vilket medför t.ex. att $S(-\mathbf u)=-S(\mathbf u)$, ger detta
$$
\begin{aligned}
T(\mathbf e_1)&=R_x(S(R_z(\mathbf e_1)))=R_x(S(\mathbf e_2))=R_x(\mathbf e_3)=-\mathbf e_2,\\
T(\mathbf e_2)&=R_x(S(R_z(\mathbf e_2)))=R_x(S(-\mathbf e_1))=R_x(-\mathbf e_1)=-\mathbf e_1,\\
T(\mathbf e_3)&=R_x(S(R_z(\mathbf e_3)))=R_x(S(\mathbf e_3))=R_x(\mathbf e_2)=\mathbf e_3.
\end{aligned}
$$
I standardbasen har dessa vektorer koordinater
$$
\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix},\quad
\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix},\quad
\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}.
$$
Därmed är matrisen för $T$ relativt standardbasen
$$
\begin{pmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}.
$$
Effekten av $T$ är alltså densamma som effekten av att spegla i planet $x+y=0$ (eftersom båda transformationerna har samma effekt på basvektorerna). (Obs: denna uppgift kan också lämpligen lösas genom att beräkna matriserna relativt standardbasen för var och en av transformationerna $R_z,S,R_x$ och multiplicera ihop dem i lämplig ordning).