Hela algebra · 2023-01-09
Bestäm samtliga par $(X,Y)$ av mängder $X$ och $Y$ som uppfyller de tre kraven
$$X\cup Y=\{1,2,3,4,5,6\},\qquad X\cap Y=\{2,3,4\},\qquad 1\in X.$$
Beräkna
$$\sum_{k=1}^{100}(3^k+2k-1).$$
(Om du undrar över hur svaret bör se ut: det får endast innehålla tal och de fyra vanliga räknesättens symboler, samt potenser, och ska bestå av sammanlagt högst 20 symboler. Jättestora tal behöver ej beräknas uttryckligen.)
(a) Vi ser att $\{1,2,3,4\}\subseteq X$ för alla sådana mängder $X$, att $5$ måste förekomma i precis en av $X$ och $Y$, och detsamma för $6$. Detta leder till följande fyra möjligheter:
$$
\begin{array}{c|c}
X&Y\\\hline
\{1,2,3,4\}&\{2,3,4,5,6\}\\
\{1,2,3,4,5\}&\{2,3,4,6\}\\
\{1,2,3,4,6\}&\{2,3,4,5\}\\
\{1,2,3,4,5,6\}&\{2,3,4\}
\end{array}
$$
(b) Summan kan delas upp som en summa av två delar:
$$
\sum_{k=1}^{100}(3^k+2k-1)=\sum_{k=1}^{100}3^k+\sum_{k=1}^{100}(2k-1).
$$
Enligt formeln för geometriska summor är
$$\sum_{k=1}^{100}3^k=\frac{3^{101}-3}{2},$$
och enligt formeln för aritmetiska summor är
$$\sum_{k=1}^{100}(2k-1)=\frac{1+199}{2}\cdot100=10000.$$
Svar:
$$\frac{3^{101}-3}{2}+10000.$$