Uppgift 2

(a) Vi har att
$$ \frac2{2x-1}<\frac1{x+3} \Longleftrightarrow\frac2{2x-1}-\frac1{x+3}<0 \Longleftrightarrow\frac{2(x+3)-(2x-1)}{(2x-1)(x+3)}<0 \Longleftrightarrow\frac7{(2x-1)(x+3)}<0. $$
Detta är ekvivalent med $(2x-1)(x+3)<0$. Om $x\le-3$ eller $x\ge\frac12$ är produkten i vänsterledet $\ge0$, och om $-3<x<\frac12$ är vänsterledet $<0$.
Svar: $-3<x<\frac12$ (eller $x\in(-3,\frac12)$).

(b) Enligt rationella rotsatsen kan eventuella rationella nollställen $a/b$ till $p(x)$, där $\operatorname{SGD}(a,b)=1$, endast ha täljare $a$ som delar $1$, och nämnare $b$ som delar $2$. Detta ger möjligheterna $\pm1,\pm\frac12$. Prövning visar att $x=\frac12$ är ett nollställe. Enligt faktorsatsen har vi därmed en faktor $(x-\frac12)$, eller $(2x-1)$, till $p(x)$, och polynomdivision ger
$$p(x)=(2x-1)(x^2-2x-1).$$
Enligt $pq$-formeln har den kvadratiska faktorn nollställena $x=1\pm\sqrt2$. Därmed har vi (enligt faktorsatsen igen)
$$ \text{Svar: }p(x)=(2x-1)(x-(1-\sqrt2))(x-(1+\sqrt2)), $$
nollställen: $\frac12,\ 1\pm\sqrt2$.