Hela algebra · 2023-01-09
Låt $z$ vara det komplexa talet $z=2^{\frac{1}{30}-1}(\sqrt{3}+i)$. Beräkna $z^{60}$. Det slutliga svaret ska anges på rektangulär/kartesisk form.
(Tips: försök inte använda binomialsatsen för detta.)
Visa, med hjälp av binomialsatsen, att
$$\sum_{k=0}^{100}\binom{100}{k}(-1)^k=0.$$
Ledning: $(-1)^k=(-1)^k\cdot 1^m$ för vilket heltal $m$ som helst.
(a) Vi skriver om med hjälp av potensregler och polärform:
$$
z=2^{1/30}\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac12i\right)
=2^{1/30}e^{i\pi/6}.
$$
Alltså är
$$z^{60}=2^{60/30}e^{i10\pi}=2^2e^{i0}=4,$$
eftersom $e^{i\theta}$ är $2\pi$-periodisk i $\theta$. Svar: $4$.
(b) Enligt binomialsatsen gäller
$$
(x+y)^{100}=\sum_{k=0}^{100}\binom{100}{k}x^ky^{100-k}.
$$
Med $x=-1$ och $y=1$ ger detta
$$
0=\sum_{k=0}^{100}\binom{100}{k}(-1)^k1^{100-k},
$$
och eftersom $1^{100-k}=1$ för alla $k$ så har vi visat det som skulle visas.