Uppgift 4

Vi bildar systemets utökade koefficientmatris $(A\mid b)$ och använder en elementär radoperation för att förenkla det:
$$ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&a&3&14\\ 1&1&6&11\\ 0&-4&a&-4 \end{array}\right) \xrightarrow{-R_1} \left(\begin{array}{ccc|c} 1&a&3&14\\ 0&1-a&3&-3\\ 0&-4&a&-4 \end{array}\right). $$
Via expansion i första kolonnen ser vi att koefficientmatrisens determinant är
$$ \det(A)= \begin{vmatrix}1-a&3\\-4&a\end{vmatrix} =(1-a)a+12=-(a^2-a-12)=-(a-4)(a+3). $$
Detta är $0$ om och endast om $a=4$ eller $a=-3$. Enligt utlärd sats har systemet alltså en unik lösning om och endast om $a\notin\{-3,4\}$.

Om $a=4$ ser vi från ovan att systemet är ekvivalent med systemet som har utökad koefficientmatris
$$ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&4&3&14\\ 0&-3&3&-3\\ 0&-4&4&-4 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{ccc|c} 1&4&3&14\\ 0&1&-1&1\\ 0&0&0&0 \end{array}\right). $$
Detta är nu i trappstegsform och vi kan avläsa att det finns oändligt många lösningar, t.ex. med $z$ som fri variabel.

Om $a=-3$ är systemet ekvivalent med systemet som har utökad koefficientmatris
$$ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&-3&3&14\\ 0&4&3&-3\\ 0&-4&-3&-4 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{ccc|c} 1&4&3&14\\ 0&1&-1&1\\ 0&0&0&-7 \end{array}\right). $$
Den tredje raden här motsvarar ekvationen $0x+0y+0z=-7$, som inte har några lösningar. Därmed saknar systemet lösningar om $a=-3$.
Svar: Ingen lösning om $a=-3$, oändligt många lösningar om $a=4$, entydig lösning annars.