(a) Linjerna skär varandra där de har samma koordinater $(x,y,z)$. Om vi sätter
$$(1,2,3)+t(1,1,1)=(5,8,6)+s(1,-1,2)$$
och förenklar så får vi systemet
$$
t=4+s,\qquad t=6-s,\qquad t=3-2s.
$$
Genom att t.ex. addera de första två ekvationerna, och sedan substituera, ser vi att systemet har precis en lösning: $(s,t)=(1,5)$. Detta ger att skärningspunkten är
$$\text{Svar: }(x,y,z)=(6,7,8).$$
(b) Planets normalvektorer är ortogonala mot både $L_1$:s och $L_2$:s riktningsvektorer. Vi kan hitta en sådan normalvektor t.ex. genom att ta kryssprodukten av dessa riktningsvektorer:
$$
(1,1,1)\times(1,-1,2)=\cdots=(3,-1,-2).
$$
Eftersom $(1,2,3)$ är en punkt på planet, så kan vi beskriva planet via ekvationen
$$\text{Svar: }3(x-1)-(y-2)-2(z-3)=0,$$
eller $3x-y-2z=-5$.
(c) Låt $\Pi:3x-y-2z=0$ vara det angivna planet. Båda de sökta planen har samma normalvektorer som $\Pi$. Eftersom vi kan läsa av dessa normalvektorer från ekvationen för $\Pi$, så behöver vi endast hitta koordinaterna för en enstaka punkt på ett av de sökta planen för att kunna skriva ned planets ekvation.
En punkt som ligger vinkelrätt avstånd $1$ från planet $\Pi$ kan fås genom att börja vid en punkt på $\Pi$, t.ex. $(0,0,0)$, och addera en normalvektor till $\Pi$ av längd $1$. Vi normerar normalvektorn $(3,-1,-2)$ och får
$$
\frac1{\sqrt{3^2+1^2+2^2}}(3,-1,-2)=\frac1{\sqrt{14}}(3,-1,-2).
$$
Punkten med dessa koordinater har alltså vinkelrätt avstånd $1$ till $\Pi$, så en ekvation för ett av de eftersökta planen är
$$
\text{Svar: }3\left(x-\frac3{\sqrt{14}}\right)-\left(y+\frac1{\sqrt{14}}\right)-2\left(z+\frac2{\sqrt{14}}\right)=0.$$