Hela algebra · 2023-01-09
Avbildningen $T$ har matrisen
$$A=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$$
i planets standardbas. Låt $\mathbf{f}_1=(\sqrt{3}/2,1/2)$ och $\mathbf{f}_2=(-1/2,\sqrt{3}/2)$. Visa att $\mathcal{F}=(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2)$ är en ON-bas för planet, bestäm matrisen för $T$ relativt denna bas, samt ge en geometrisk tolkning för avbildningen $T$.
Eftersom standardbasen är en ON-bas så ger direkt beräkning via koordinater att $\mathbf f_1\cdot\mathbf f_1=1=\mathbf f_2\cdot\mathbf f_2$ och att $\mathbf f_1\cdot\mathbf f_2=0$. Därmed utgör $\mathcal F$ en ON-bas.
Matrisen för $T$ relativt denna bas kan hittas på flera sätt, t.ex. via satsen om basbyte, eller via direkt beräkning. Vi använder direkt beräkning: vi behöver skriva vektorerna $T(\mathbf f_1)$ och $T(\mathbf f_2)$ i basen $\mathcal F$.
Vi har
$$
T(\mathbf f_1)=
\begin{pmatrix}\frac12&\frac{\sqrt3}{2}\\[2pt]\frac{\sqrt3}{2}&-\frac12\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\frac{\sqrt3}{2}\\[2pt]\frac12\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}\frac{\sqrt3}{2}\\[2pt]\frac12\end{pmatrix}
=\mathbf f_1.
$$
I $\mathcal F$ är koordinaterna för $T(\mathbf f_1)$ alltså $(1,0)$. Vidare är
$$
T(\mathbf f_2)=
\begin{pmatrix}\frac12&\frac{\sqrt3}{2}\\[2pt]\frac{\sqrt3}{2}&-\frac12\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}-\frac12\\[2pt]\frac{\sqrt3}{2}\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}\frac12\\[2pt]-\frac{\sqrt3}{2}\end{pmatrix}
=-\mathbf f_2.
$$
I $\mathcal F$ är koordinaterna för $T(\mathbf f_2)$ alltså $(0,-1)$.
Alltså är matrisen för $T$ relativt basen $\mathcal F$
$$
\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.
$$
Vi kan känna igen detta som en matris för en spegling i axeln motsvarande den första basvektorn. Alltså motsvarar $T$ en spegling i linjen genom origo med riktningsvektor $\mathbf f_1$.