Uppgift 1
(a)
Bestäm minsta positiva resten då $2^{33335}$ delas med 7.
(b)
Bestäm en lösning till den Diofantiska ekvationen $19x+17y=5$.
(c)
Bestäm det minsta positiva heltal $a$ som gör att den Diofantiska ekvationen $21x+15y=a$ har lösningar.
Hela algebra · 2023-05-10
Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
(a) Vi har att
$$2^{33335}=2^2(2^3)^{11111}=4\cdot8^{11111},$$
och eftersom $8$ är kongruent med $1$ modulo $7$, så är resten vid division med $7$ lika med $4$.
(b) Euklides algoritm på $19$ och $17$ ger
$$19=17+2,\qquad17=8\cdot2+1,$$
så
$$1=17-8\cdot2=17-8(19-17)=19(-8)+17\cdot9.$$
Alltså är $x=5(-8)=-40$, $y=5\cdot9=45$ en lösning till ekvationen.
(c) Då $\operatorname{SGD}(21,15)=3$, finns lösningar om och endast om $3\mid a$, så $a=3$.