Uppgift 2

(a) Rationella rotsatsen säger att rationella rötter $p/q$ uppfyller att $p\mid2$ och $q\mid5$, så $\pm1,\pm2,\pm\frac15,\pm\frac25$ är potentiella rötter. Dock, då alla koefficienter är positiva, är bara de negativa alternativen relevanta. Insättning av $-1$ och $-2$ ger inga rötter, och inte heller $-\frac15$, men
$$ 5\left(-\frac25\right)^3+2\left(-\frac25\right)^2+5\left(-\frac25\right)+2 =-\frac8{25}+\frac8{25}-2+2=0, $$
så $z=-\frac25$ är en rot, så $(z+\frac25)$ är en faktor till polynomet enligt faktorsatsen. Vi utför nu polynomdivision, och får
$$ 5z^3+2z^2+5z+2=(5z^2+5)\left(z+\frac25\right). $$
De övriga rötterna ges då av
$$5z^2+5=0\Longleftrightarrow z^2+1=0,$$
så $z=\pm i$. Sammanfattningsvis har polynomet alltså rötterna $i$, $-i$ och $-\frac25$.

(b) Centrum är $(2,3)$, och halvaxeln i $x$-led är $4$ lång, medan halvaxeln i $y$-led är $2$ längdenheter. Detta ger ekvationen
$$\frac{(x-2)^2}{4^2}+\frac{(y-3)^2}{2^2}=1.$$