Hela algebra · 2023-05-10
På hur många sätt kan man välja ut tre personer bland sju, och därefter ge en av de tre valda personerna en kaka? Svara med heltal.
Visa att för heltal $n\ge 3$ gäller det att $3\cdot\binom{n}{3}=n\cdot\binom{n-1}{2}$.
Tips: Använd inte induktion för att visa detta.
(a) Först väljs de tre personerna, $\binom73$, därefter personen som får kakan, $3$ sätt. Multiplikationsprincipen ger då
$$3\cdot\binom73=3\cdot\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}=3\cdot5\cdot7=105.$$
(b) Kombinatoriskt bevis: Vänsterledet räknar antalet sätt att bland $n$ personer välja $3$, och därefter ge en av dessa en kaka. I högerledet gör vi valen i omvänd ordning; en av de $n$ personerna får först en kaka, och sedan behöver vi välja två till (utan kaka) att tillhöra $3$-gruppen av personer. I båda led räknar vi alltså sätt att tillverka en $3$-grupp från $n$ personer där en person i gruppen har en kaka.
Algebraiskt bevis: Vi har att
$$
3\binom n3
=3\cdot\frac{n(n-1)(n-2)}{3\cdot2\cdot1}
=n\cdot\frac{(n-1)(n-2)}{2\cdot1}
=n\binom{n-1}{2},
$$
då vi utnyttjat att
$$
\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}
=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}.
$$