Hela algebra · 2023-05-10
Låt $F_1:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ vara avbildningen som definieras av
$$F_1(x,y,z)=(2x+y+z,x-y,2x+z^2).$$
Är $F_1$ linjär eller inte? Motivera utifrån definitionen av linjär avbildning!
Låt $F_2:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ vara den linjära avbildning som definieras av $F_2(\mathbf{u})=\mathbf{u}+\frac{(0,1,2)\cdot\mathbf{u}}{5}(0,1,2)$. Bestäm avbildningsmatrisen för $F_2$ i standardbasen.
Är avbildningen $F_2$ inverterbar?
(a) Nej. En linjär avbildning måste uppfylla att $F_1(\mathbf u+\mathbf v)=F_1(\mathbf u)+F_1(\mathbf v)$ för alla vektorer $\mathbf u$ och $\mathbf v$. Men tar vi $\mathbf u=\mathbf v=(0,0,1)$ ser vi att
$$
F_1((0,0,1)+(0,0,1))=F_1((0,0,2))=(2,0,2^2)=(2,0,4),
$$
men
$$
F_1((0,0,1))+F_1((0,0,1))
=2\cdot(1,0,1^2)=(2,0,2).
$$
Eftersom dessa inte stämmer överens, så är $F_1$ inte linjär.
(b) Det räcker att beräkna $F_2(\mathbf e_1)$, $F_2(\mathbf e_2)$ samt $F_2(\mathbf e_3)$. Dessa blir kolonnerna i avbildningsmatrisen. Dessa blir
$$
\begin{aligned}
F_2(\mathbf e_1)&=(1,0,0)+\frac05(0,1,2)=(1,0,0),\\
F_2(\mathbf e_2)&=(0,1,0)+\frac15(0,1,2)=(0,\tfrac65,\tfrac25),\\
F_2(\mathbf e_3)&=(0,0,1)+\frac25(0,1,2)=(0,\tfrac25,\tfrac95).
\end{aligned}
$$
Avbildningsmatrisen blir alltså
$$
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&\frac65&\frac25\\
0&\frac25&\frac95
\end{pmatrix}.
$$
(c) Ja, den är inverterbar då determinanten av avbildningsmatrisen blir (efter utveckling längs med första raden)
$$
1\cdot\begin{vmatrix}\frac65&\frac25\\\frac25&\frac95\end{vmatrix}
=\frac1{25}(6\cdot9-2\cdot2)\ne0.$$