Uppgift 1
(a)
Beräkna gränsvärdet $\lim_{x\to\infty}\frac{2x^{10}e^x+3e^{2x}}{e^{2x}+\ln(x)}$.
(b)
Beräkna gränsvärdet $\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2(2x)\ln(1+3x)}{x^3}$.
Analys I · 2023-10-23
Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
(a) Vi får att $\frac{2x^{10}e^x+3e^{2x}}{e^{2x}+\ln(x)}=\frac{\frac{2x^{10}}{e^x}+3}{1+\frac{\ln(x)}{e^{2x}}}\to\frac{0+3}{1+0}=3$ då $x\to\infty$.
(b) Med en omskrivning kan vi använda våra standardgränsvärden och får
$$\frac{\sin^2(2x)\ln(1+3x)}{x^3}=\left(\frac{\sin(2x)}{2x}\right)^2\cdot\frac{\ln(1+3x)}{3x}\cdot12\to1^2\cdot1\cdot12=12$$
då $x\to0$.