Uppgift 6

Låt $f(x)=x^2+2x+2=(x+1)^2+1$ och $g(x)=1-x^2$. Tangenten till $y=f(x)$ i en punkt $(a,f(a))$ har ekvationen
$$y-f(a)=f'(a)(x-a)\iff y=2(a+1)x-a^2+2.$$
Tangenten till $y=g(x)$ i en punkt $(b,g(b))$ har ekvationen
$$y-g(b)=g'(b)(x-b)\iff y=-2bx+b^2+1.$$
Dessa tangenter sammanfaller precis då
$$\begin{cases}2(a+1)=-2b\\-a^2+2=b^2+1\end{cases}\iff\begin{cases}b=-a-1\\-a^2+2=(a+1)^2+1\end{cases}\iff\begin{cases}b=-a-1\\a(a+1)=0\end{cases}$$
så för $(a,b)=(0,-1)$ och för $(a,b)=(-1,0)$, vilket ger tangenterna $y=2x+2$ resp. $y=1$.