Uppgift 4

Låt $f(x)=\frac{x^2+x}{1-\lvert x\rvert}$. Vi ser direkt att $D_f=\{x\in\mathbb R\mid x\ne\pm1\}$, och eftersom $f$ är kontinuerlig är de enda möjliga vertikala asymptoterna $x=-1$ och $x=1$. Efter polynomdivision får vi
$$f(x)=\begin{cases}-x-2+\frac2{1-x}&\text{om }x>0\text{ och }x\ne1\\x&\text{om }x<0\text{ och }x\ne-1\end{cases}$$
så $\lim_{x\to-1}f(x)=-1$, så $x=-1$ är ingen asymptot, medan $\lim_{x\to1^+}f(x)=-\infty$ så $x=1$ är det. Vidare är $\lim_{x\to\infty}(f(x)-(-x-2))=0$, och $\lim_{x\to-\infty}(f(x)-x)=0$, så vi har alltså de tre asymptoterna $x=1$, $y=-x-2$ och $y=x$.