Uppgift 5

Funktionen $f(x)=(x+2)e^{-x}$ är definierad och kontinuerlig på hela $\mathbb R$. Vi får att $f'(x)=-(x+1)e^{-x}$ och $f''(x)=xe^{-x}$, så $f'(x)=0$ bara för $x=-1$. Vidare $f''(x)=0$ bara för $x=0$. Vi gör en teckentabell
$$\begin{array}{c|ccccc}x&&-1&&0&\\\hline f'(x)&+&0&-&-&-\\f(x)&\nearrow&e&\searrow&\searrow&\searrow\\f''(x)&-&-&-&0&+\\f(x)&\frown&\frown&\frown&&\smile\end{array}$$
Från denna ser vi att funktionen har ett globalt maximum i $x=-1$. Grafen är konkav på $(-\infty,0)$ och konvex på $(0,\infty)$, så $x=0$ är en inflektionspunkt.

Vi konstaterar vidare att $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$, och att $\lim_{x\to\infty}f(x)=0$, vilket gör att vi kan skissa grafen, från vilken vi kan dra slutsatsen att funktionens värdemängd är $(-\infty,e]$.