Uppgift 6

Låt $f(x)=e^{-3x}$, så $f'(x)=-3e^{-3x}$. Tangenten till $y=f(x)$ i en punkt $(b,f(b))$ har ekvationen $y-f(b)=f'(b)(x-b)$ som blir
$$y-e^{-3b}=-3e^{-3b}(x-b)\iff y=-3e^{-3b}x+(3b+1)e^{-3b}.$$
Denna tangent är på formen $y=ax$ precis då
$$\begin{cases}-3e^{-3b}=a\\(3b+1)e^{-3b}=0\end{cases}\iff\begin{cases}b=-1/3\\a=-3e.\end{cases}$$
så för $a=-3e$ tangerar linjen $y=ax$ grafen $y=f(x)$ i punkten $x=-1/3$.

Anmärkning: Ett alternativt sätt att lösa uppgiften är att bestämma alla tangenter till grafen som passerar origo.