Uppgift 1
(a)
Beräkna gränsvärdet
$$\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n+a}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+b}+\sqrt{n}\right),$$
där $a,b$ är reella konstanter.
(b)
Beräkna gränsvärdet $\lim_{x\to\infty}x\bigl(\ln(x+1)-\ln(x)\bigr)$.
Analys I · 2024-03-13
Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
(a) Förlänger vi med konjugatuttrycket $\sqrt{n+a}+\sqrt n$ får vi
$$(\sqrt{n+a}-\sqrt n)(\sqrt{n+b}+\sqrt n)=a\frac{\sqrt{n+b}+\sqrt n}{\sqrt{n+a}+\sqrt n}=a\frac{\sqrt{1+b/n}+1}{\sqrt{1+a/n}+1}\to a$$
då $n\to\infty$.
(b) Med standardgränsvärdet för $e$ får vi att
$$x(\ln(x+1)-\ln(x))=x\ln\left(\frac{x+1}x\right)=x\ln\left(1+\frac1x\right)=\ln\left(1+\frac1x\right)^x\to\ln(e)=1$$
då $x\to\infty$.