Uppgift 4

Funktionen $f(x)=2\arctan(\lvert x\rvert)-x$ är definierad och kontinuerlig för alla $x\in\mathbb R$, så vertikala asymptoter saknas. Vi får
$$k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}x=\lim_{x\to\pm\infty}\left(\frac{2\arctan(\lvert x\rvert)}x-1\right)=-1$$
och
$$m=\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-kx)=\lim_{x\to\pm\infty}2\arctan(\lvert x\rvert)=\pi$$
så $y=kx+m=\pi-x$ är en tvåsidig sned asymptot.

Vi har $f(x)=\begin{cases}2\arctan(x)-x;&x\ge0\\-2\arctan(x)-x;&x<0\end{cases}$ så $f'(x)=\begin{cases}\frac2{1+x^2}-1;&x>0\\-\frac2{1+x^2}-1;&x<0\end{cases}$. Vi ser direkt att $f'(x)<0$ för alla $x<0$, och för $x>0$ är $f'(x)=0$ bara då $x=1$. Efter förenkling får vi att $f''(x)=\frac{-4\lvert x\rvert}{(1+x^2)^2}$ så $f''(x)<0$ för $x\ne0$. Vi gör en teckentabell:
$$\begin{array}{c|ccccc}x&&0&&1&\\\hline f'(x)&-&\text{ej def.}&+&0&-\\f(x)&\searrow&0&\nearrow&\pi/2-1&\searrow\\f''(x)&-&\text{ej def.}&-&-&-\\f(x)&\frown&&\frown&\frown&\frown\end{array}$$
Från denna ser vi att funktionen har ett lokalt minimum för $x=0$, och ett lokalt maximum för $x=1$. Grafen är konkav på intervallen $(-\infty,0]$ och $[0,\infty)$. Slutligen skissar vi grafen: