Analys I · 2024-03-13
Avgör, med noggrann motivering, om det går att hitta ett tal $a\in\mathbb{R}$ så att
$$g(x)=\begin{cases}xe^{-1/x}&\text{om }x\ne 0,\\a&\text{om }x=0,\end{cases}$$
blir kontinuerlig.
Låt $f(x)$ vara en jämn funktion som är definierad och deriverbar på hela $\mathbb{R}$. Visa, utifrån derivatans definition, att $f'(x)$ är en udda funktion.
(a) Vi får
$$\lim_{x\to0^+}g(x)=\lim_{x\to0^+}xe^{-1/x}=[t=1/x]=\lim_{t\to\infty}\frac1{te^t}=0,$$
men
$$\lim_{x\to0^-}g(x)=\lim_{x\to0^-}xe^{-1/x}=[t=-1/x]=\lim_{t\to\infty}-\frac{e^t}t=-\infty,$$
så $\lim_{x\to0}g(x)$ existerar inte. Därmed kan vi inte få funktionen kontinuerlig, oavsett värde på $a$.
(b) Med derivatans definition får vi för varje $x\in\mathbb R$ att
$$\begin{aligned}f'(-x)&=\lim_{h\to0}\frac{f(-x+h)-f(-x)}h=[f\text{ jämn}]=\lim_{h\to0}\frac{f(x-h)-f(x)}h\\&=[k=-h]=\lim_{k\to0}-\frac{f(x+k)-f(x)}k=-f'(x),\end{aligned}$$
vilket visar att $f'(x)$ är en udda funktion.