Uppgift 1
Betrakta den reella funktionen
$$f(x)=\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}.$$
(a)
Bestäm funktionens definitionsmängd.
(b)
Avgör med noggrann motivering om funktionen är jämn, udda, eller varken eller.
(c)
Visa att funktionen är monoton.
Analys I · 2024-04-10
Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
(a) För att $f(x)$ skall vara definierat behöver vi $1+x\ge0$ och $1-x\ge0$ vilket är ekvivalent med att $-1\le x\le1$, så $D_f=[-1,1]$.
(b) Vi får
$$f(-x)=\sqrt{1-x}-\sqrt{1-(-x)}=-(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})=-f(x)$$
för alla $x\in D_f$, så funktionen är udda.
(c) Vi har för $-1<x<1$ att
$$f'(x)=\frac1{2\sqrt{1+x}}+\frac1{2\sqrt{1-x}}>0$$
så funktionen är växande (inklusive i ändpunkterna pga kontinuitet), och därmed monoton.