Uppgift 4

Funktionen är definierad och kontinuerlig för alla $x\ne-1$, så $x=-1$ är den enda möjliga vertikala asymptoten. Vi har $\lim_{x\to-1}\frac{x^2}{\lvert x+1\rvert}=\infty$ vilket visar att $x=-1$ faktiskt är en asymptot.

För $x>-1$ får vi, med polynomdivision, att $f(x)=\frac{x^2}{x+1}=x-1+\frac1{x+1}$, så
$$\lim_{x\to\infty}(f(x)-(x-1))=\lim_{x\to\infty}\frac1{x+1}=0,$$
så $y=x-1$ är en asymptot då $x\to\infty$.

På samma sätt får vi för $x<-1$ att $f(x)=1-x-\frac1{x+1}$ så
$$\lim_{x\to-\infty}(f(x)-(1-x))=\lim_{x\to-\infty}\frac{-1}{x+1}=0,$$
så $y=1-x$ är en asymptot då $x\to-\infty$.