Uppgift 5

Vi observerar att funktionen $f(x)=xe^{-x^2/2}$ är udda, samt definierad och kontinuerlig för alla $x\in\mathbb R$. Därmed saknas vertikala asymptoter. Vi har $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\left(\frac x{e^{x^2/2}}\right)=0$ så $y=0$ är en tvåsidig horisontell asymptot.

Vi får att $f'(x)=(1-x^2)e^{-x^2/2}$ så $f'(x)=0$ för $x=\pm1$. Vidare får vi efter förenkling att $f''(x)=x(x^2-3)e^{-x^2/2}$, så $f''(x)=0$ för $x=0$ och för $x=\pm\sqrt3$. Vi gör en teckentabell:
$$\begin{array}{c|ccccccccccc}x&&-\sqrt3&&-1&&0&&1&&\sqrt3&\\\hline f'(x)&-&-&-&0&+&+&+&0&-&-&-\\f(x)&\searrow&\searrow&\searrow&-1/\sqrt e&\nearrow&\nearrow&\nearrow&1/\sqrt e&\searrow&\searrow&\searrow\\f''(x)&-&0&+&+&+&0&-&-&-&0&+\\f(x)&\frown&\text{infl.}&\smile&\smile&\smile&\text{infl.}&\frown&\frown&\frown&\text{infl.}&\smile\end{array}$$
Från denna ser vi att funktionen har ett globalt minimum för $x=-1$, och ett globalt maximum för $x=1$, så värdemängden är $V_f=[-1/\sqrt e,1/\sqrt e]$. Vi har tre inflektionspunkter. Slutligen skissar vi grafen: