Uppgift 6

Låt $f(x)=\frac1{1+x^2}$, vilket ger att $f'(x)=\frac{-2x}{(1+x^2)^2}$. Tangenten till $y=f(x)$ i en punkt $(a,f(a))$ har ekvationen
$$y-f(a)=f'(a)(x-a)\iff y-\frac1{1+a^2}=\frac{-2a}{(1+a^2)^2}(x-a).\tag{1}$$
Denna tangent passerar punkten $(x,y)=(0,1)$ om
$$1-\frac1{1+a^2}=\frac{-2a}{(1+a^2)^2}(0-a)\iff(1+a^2)^2-(1+a^2)=2a^2\iff a^2(a-1)(a+1)=0,$$
så för $a=0,\pm1$. Insättning av dessa värden på $a$ i ekvation (1) ger de tre tangenterna $y=1$, $y=1+x/2$ och $y=1-x/2$.