Uppgift 1
(a)
Beräkna gränsvärdet $\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x^2-x-2}$.
(b)
Beräkna gränsvärdet $\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^4+3n^2+2}-n^2\right)$.
Analys I · 2024-08-15
Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
(a) Gränsvärdet är av typen $0/0$ så vi kan faktorisera polynomen och får
$$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x^2-x-2}=\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}=\lim_{x\to2}\frac{x+2}{x+1}=\frac43.$$
(b) Förlänger vi med konjugatuttrycket då $n\to\infty$ får vi
$$\sqrt{n^4+3n^2+2}-n^2=\frac{3n^2+2}{\sqrt{n^4+3n^2+2}+n^2}=\frac{3+2/n^2}{\sqrt{1+3/n^2+2/n^4}+1}\to\frac32.$$