Uppgift 2

Funktionen är definierad på hela $\mathbb R$ och vi får $f'(x)=\frac{-2e^x}{(1+e^x)^2}<0$ för alla $x$ så $f(x)$ är avtagande. Vi får vidare att $\lim_{x\to\infty}f(x)=3$ och $\lim_{x\to-\infty}f(x)=5$, så $V_f=(3,5)$.

Om $3<y<5$ får vi därmed
$$y=f(x)\iff y-3=\frac2{1+e^x}\iff1+e^x=\frac2{y-3}\iff e^x=\frac{5-y}{y-3}\iff x=\ln\left(\frac{5-y}{y-3}\right).$$
Funktionen är därmed inverterbar och $f^{-1}(y)=\ln\left(\frac{5-y}{y-3}\right)$. Vi har alltså att
$$f^{-1}(x)=\ln\left(\frac{5-x}{x-3}\right),$$
och inversens definitionsmängd $D_{f^{-1}}=(3,5)$, och värdemängden $V_{f^{-1}}=\mathbb R$.