Analys I · 2024-08-15
Betrakta funktionen
$$f(x)=\lvert x\rvert^3.$$
Visa utifrån derivatans definition (och med noggranna motiveringar) att $f(x)$ är deriverbar i punkten $x=0$. Ange sedan en så kort och enkel formel som möjligt för $f'(x)$ som gäller för alla $x\in\mathbb{R}$.
Derivatans definition ger att
$$\begin{aligned}f'(0)&=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}h=\lim_{h\to0}\frac{\lvert0+h\rvert^3-0^3}h\\&=\lim_{h\to0}\frac{\lvert h\rvert^3}h=\lim_{h\to0}\frac{h^2\cdot\lvert h\rvert}h=\lim_{h\to0}h\cdot\lvert h\rvert=0.\end{aligned}$$
Eftersom $f(x)=\begin{cases}x^3;&x\ge0,\\-x^3;&x<0\end{cases}$ får vi därmed att $f'(x)=\begin{cases}3x^2;&x>0,\\0;&x=0,\\-3x^2;&x<0\end{cases}$ vilket man enkelt verifierar kan uttryckas som $f'(x)=3x\cdot\lvert x\rvert$ för alla $x\in\mathbb R$.