Uppgift 1

(a) Om vi bryter ur och förkortar med de dominerande termerna $e^{2x}$ får vi
$$\lim_{x\to\infty}\frac{e^{2x}-2x^2e^x}{3e^x+4\sqrt{1+e^{4x}}}=\lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac{2x^2}{e^x}}{\frac3{e^x}+4\sqrt{e^{-4x}+1}}=\frac{1-0}{0+4\sqrt{0+1}}=\frac14.$$
(b) Med substitutionen $t=x+1$ får vi
$$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+4}{x+1}\right)^{2x}=\lim_{t\to\infty}\left(\frac{t+3}t\right)^{2(t-1)}=\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac3t\right)^{2t-2},$$
med substitutionen $s=t/3$ och standardgränsvärdet för $e$ får vi vidare
$$\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac3t\right)^{2t-2}=\lim_{s\to\infty}\left(\left(1+\frac1s\right)^s\right)^6\left(1+\frac1s\right)^{-2}=e^6\cdot1^{-2}=e^6.$$