Uppgift 4

(a) Om $x<2$ får vi
$$\begin{aligned}y=f(x)&\iff y=\ln(2-x)+3\iff\ln(2-x)=y-3\\&\iff2-x=e^{y-3}\iff x=2-e^{y-3}.\end{aligned}$$
Funktionen $f$ är därmed inverterbar och $f^{-1}(y)=2-e^{y-3}$. Vi har alltså att $f^{-1}(x)=2-e^{x-3}$, och inversens definitionsmängd är $\mathbb R$, och dess värdemängd intervallet $(-\infty,2)$.

(b) Funktionen är definierad och kontinuerlig för alla $x\ne0$, vilket ger bara en möjlig vertikal asymptot. Dock har vi $\lim_{x\to0^+}f(x)=-\pi/2$ och $\lim_{x\to0^-}f(x)=\pi/2$ vilket visar att $x=0$ inte är någon asymptot. Vi får vidare att $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\arctan(1)=\pi/4$ så $y=\pi/4$ är grafens enda asymptot.