Analys I · 2025-03-20
Ge fyra (enkla) exempel på gränsvärden av typen ”$\frac{0}{0}$” som uppfyller vardera:
$\to 0$,
$\to\pi$,
$\to\infty$,
inte existerar (och inte heller $\to\pm\infty$).
Det räcker att skriva upp gränsvärdena.
Betrakta funktionen $f(x)=\left(\sqrt{1+x}-1\right)\sqrt{\lvert x\rvert}$. Avgör utifrån derivatans definition om $f(x)$ är deriverbar i punkten $x=0$.
(a) Vi kan exempelvis ta gränsvärdena
$$\text{i. }\lim_{x\to0}\frac{\sin^2(x)}x,\qquad\text{ii. }\lim_{x\to0}\frac{\sin(\pi x)}x,\qquad\text{iii. }\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x^3},\qquad\text{iv. }\lim_{x\to0}\frac{\lvert x\rvert}x.$$
(b) Derivatans definition ger att
$$\begin{aligned}f'(0)&=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}h=\lim_{h\to0}\frac{(\sqrt{1+h}-1)\sqrt{\lvert h\rvert}}h\\&=[\text{förlänger med konjugatet}]=\lim_{h\to0}\frac{((1+h)-1)\sqrt{\lvert h\rvert}}{(\sqrt{1+h}+1)h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{\lvert h\rvert}}{\sqrt{1+h}+1}=\frac0{1+1}=0.\end{aligned}$$
Funktionen $f(x)$ är därmed deriverbar i punkten $x=0$, och vi har $f'(0)=0$.