Uppgift 1
Bestäm med delkursens metoder (så t ex inte med l’Hospitals regel) gränsvärdena
(a)
$\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+an}-\sqrt{n^2+b}\right)$, där $a,b$ är reella konstanter,
(b)
$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)\sin(3x)}{x\sin(2x)}$.
Analys I · 2025-05-13
Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
(a) Förlänger vi med konjugatuttrycket får vi
$$\sqrt{n^2+an}-\sqrt{n^2+b}=\frac{(n^2+an)-(n^2+b)}{\sqrt{n^2+an}+\sqrt{n^2+b}}=\frac{a-b/n}{\sqrt{1+a/n}+\sqrt{1+b/n^2}}\to\frac a2$$
då $n\to\infty$.
(b) Med lämpliga förlängningar och standardgränsvärdet för sinus får vi
$$\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)\sin(3x)}{x\sin(2x)}=\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}x\cdot\frac{2x}{\sin(2x)}\cdot\frac{\sin(3x)}{3x}\cdot\frac32=\frac32.$$